Tema 1 ÁLGEBRA, ECUACIONES y SISTEMAS
01 Las letras en las matemáticas. Las expresiones
algebraicas.
Una expresión algebraica es una combinación de números y
letras relacionados mediante operaciones de suma, resta, multiplicación,
división y potencias. Las letras en una expresión algebraica se llaman
variables.
El valor numérico en una expresión algebraica es el número
que se obtiene al sustituir las letras por números y realizar las operaciones
que se indican.
|
6m
|
|
Alto = x metros
Largo
total = (x+50) metros
|
2.- ¿Cuál es la expresión del volumen de un frasco cuyas
dimensiones son: (x+2), (2x-1) y x?
3.- ¿Cuál es la expresión algebraica que nos dice la
diferencia de edad entre la edad (x) de un padre y la edad (y)
de su hijo?
4.- ¿Cuál es la diferencia de edad entre un padre que tiene
44 años y su hijo que tiene 11 años?
5.- Un alumno tiene x años. Su padre tiene el triple de
edad. Escribe la expresión algebraica que nos dice la edad del padre.
6.- Seguimos con el problema anterior. Si sumamos la edad
del niño y la edad del padre no da 40. ¿Cuál es la edad del niño?
7.- Un libro cuesta 15 euros. Pero José tiene x euros, que
es bastante menos. ¿Cuánto dinero le falta?
8.- Un lápiz cuesta 1,5 euros. ¿Cuánto costarán x
lápices?
9.- Un bolígrafo cuesta el doble del lápiz anterior menos
uno. ¿Cuánto cuesta el bolígrafo?
10.- El área de un solar de x metros de lado tiene un área o superficie que es igual al cuadrado de su lado más 160. ¿Cuál es su área?
1A.- Efectúa las siguientes operaciones: primero multiplica por 3, luego suma 2 y después calcula el resultado.
5
|
MULTIPLICA POR 3
|
5·3
|
SUMA 3
|
5·3+3
|
=
|
18
|
2
|
||||||
X
|
2A.- Efectúa las siguientes operaciones: primero resta 3,
luego multiplica por 2 y después calcula el resultado.
4
|
RESTA 3
|
4-3
|
MULTIPLICA POR 2
|
(4-3)·2
|
=
|
18
|
6
|
||||||
X
|
3A.- Efectúa las siguientes operaciones: primero eleva al
cuadrado, resta 5, luego multiplica por 2 y después calcula el resultado.
4
|
ELEVA AL CUADRADO
|
42
|
RESTA 5 Y LUEGO MULTIPLICA POR 2
|
(42-5)·2
|
=
|
22
|
6
|
||||||
X
|
4A.- Indica cuál
es la expresión algebraica de los siguientes enunciados.
i)
Un número x dos unidades menor. ¿Cuál es
correcta?
a)
2 – x
b)
x – 2
c)
(x – 2)
ii)
El triple de un número x. ¿Cuál es correcta?
a)
3 + x
b)
x + 3
c)
3x
iii)
El número siguiente al número x. ¿Cuál es
correcta?
a)
1 - x
b)
x + 1
c)
x + x
5A.- Indica cuál es la expresión algebraica de los
siguientes enunciados.
iv)
El resultado de sumar al número anterior al
número x, el número posterior al número x.
d)
x + x
e)
x – 1 + x
f)
(x – 1 + 2)
v)
El triple de un número x más dos. ¿Cuál es
correcta?
d)
3 + x + 2
e)
(x + 3)·2
f)
3x + 2
vi)
El triple del número siguiente al número x.
¿Cuál es correcta?
d)
(1 + x)3
e)
3·(x + 1)
f)
3·(x + x)
6A.- Indica cuál es la expresión algebraica de los
siguientes enunciados.
vii)
El triple de un número x más tres. ¿Cuál es
correcta?
g)
x + x + x
h)
x + 3 + x
i)
3x + 3
viii)
Los dos séptimos de x menos 7. ¿Cuál es
correcta?
g)
2 + x – 7
h)
(2/7)x – 7
i)
7 – 2/7x
ix)
El precio x de un disco menos un quinto ¿Cuál es
correcta?
g)
(1 – x)1/5
h)
5·(x + 1)
i)
x – 1/5
7A.- Indica cuál es la expresión algebraica de los
siguientes enunciados.
x)
Un número x por otro dos unidades menor. ¿Cuál
es correcta?
j)
x·(x – 2)
k)
x - 2 + x
l)
x·x - 2
xi)
El área de un rectángulo de base x y altura y
menos 2. ¿Cuál es correcta?
j)
2 + xy
k)
x + 2 + y
l)
x·y - 2
xii)
Dos pisos por debajo del piso x de un edificio
¿Cuál es correcta?
j)
(2 – x)
k)
2·(x + 2)
l)
x – 2
8A.- Escribe con tus propias palabras un enunciado que
corresponda a la siguiente expresión algebraica
2x + 5
9A.- Escribe con tus propias palabras un enunciado que
corresponda a la siguiente expresión algebraica
(1/2)x – 3
10A.- Calcula el valor numérico de las expresiones de la
cabecera de las columnas (que
están dibujadas en gris), para el valor que se da en la cabecera de las
filas (que están dibujadas en
gris).
x2 + 2x
- 4
|
2x3 + 3x2
+ x - 2
|
|
x = 0
|
||
x = 1
|
||
x = 2
|
||
x = 3
|
||
x = 4
|
4·4 + 2·4 -4
|
2·(4·4·4) + 3·4·4 - 4 -2
|
x = -1
|
||
x = -2
|
||
x = -3
|
(-3)·(-3) + 2·(-3) -4 =
|
2·((-3)·(-3)·(-3)) + 3·(-3)·(-3)
– (-3) -2 =
|
x = -4
|
(-4)·(-4) + 2·(-4) -4 =
|
2·((-4)·(-4)·(-4)) + 3·(-4)·(-4)
– (-4) -2 =
|
12.- Menciona la expresión algebraica en una frase
a)
x2 --> el cuadrado de un número
b)
x2+ x3
c)
x2 – 7
d)
x2+ x3 + 3
e)
2x2
f)
3x2+ 2x3
g)
4x2
h)
3x2- x3
i)
xy -2x
j)
xyz+2y
13.- Halla el valor de la expresión algebraica si el
valor de x=3.
2x+2=8
x+4=
3x+2x+5=
x + 6 + 2x - 1 =
2x2 + 3x =
2x2+x3 =
14.- Calcula el valor numérico de 5x4+ 4x3+3x2
-2x para x=1
15.- Calcula el valor numérico de 5x4+ 4x3+3x2
-2x para x=2
16.- Calcula el valor numérico de 2x3- 2x2+5x
-12 para x=3
17.- Javier tiene x DVD’s, Luis tiene la mitad 1/2x
18.- Javier tiene x DVD’s, Luis tiene la mitad 1/2x
19.- Calcula el área de dos parcelas de terreno. Una
tiene de base x y de altura y. La otra tiene de base a
y de altura b.
20.- Calcula el área de dos parcelas de terreno. Una tiene de base x=8 y de altura y=7. La otra tiene de base a=11 y de altura b=5.
11A.- Calcula el perímetro del siguiente rectángulo
(Pista: el
perímetro de un rectángulo es la suma de los cuatro lados)
12A.- Menciona la expresión algebraica en una frase
a)
x2 --> el cuadrado de un número x
b)
x2+ 2 à
c)
x2 – 7 à
d)
x3 --> el cubo de un número x
e)
2x2
f)
3x3
g)
5x2
h)
2x2- x3
i)
x2+ 2x3
13A.- Halla el valor de la expresión algebraica si el
valor de x=2.
x + 2 = 8
x + 4 =
2x2 + 3x =
2x2 + x3 =
14A.- Calcula el valor numérico de +2x2 – x para
x=1
15A.- Calcula el valor numérico de x3+ x2
– 2x
para x=2
16A.- Calcula el valor numérico de x2+ 2x
-12 para x=3
17A.- Luis tiene x
canicas, Ana tiene el doble. ¿Cuántas canicas tiene Ana?
18A.- Si Luis en el problema anterior tenía 20 canicas,
¿Qué número de canicas tenía Ana?
19A.- Si Pedro tenía x - 1 canicas y Juan el triple,
¿Cuántas canicas tiene Juan?
20A.- Calcula el perímetro y el área de las siguientes
figuras:
21.- Calcula el área de dos parcelas de terreno. Una
tiene de base x=10 y de altura y=9. La otra tiene de base a=15
y de altura b=5.
22.- ¿Es correcta el valor final de la expresión
algebraica siguiente 5x4+ 4x3+3x2 -2x=10 si a la x le damos un valor de 2?
23.- ¿Y si en el problema anterior le damos a la x un
valor de 1?
24.- La expresión 2a+3b+4c vale 17 cuando a=2, b=3. Pero
falta que le demos valor a c. ¿Cuál es el valor de c para que valga 17?
25.- Traduce al lenguaje algebraico las siguientes
expresiones
a)
El doble de un número x menos siete.
b)
La tercera parte de un número x
menos el doble de un número y
c)
Dos veces el cuadrado de un número x menos la tercera parte de x
d)
Un número x menos tres veces y.
Todo elevado al cuadrado
e)
Un número x menos tres veces y.
Todo elevado al cubo.
f)
Un número x menos tres veces y.
Todo elevado a la cuarta.
g)
La sexta parte de un número x más 2 es igual a 5.
h)
La séptima parte de un número x
menos 6 es igual a 8.
i)
Dividiendo el número x de alumnos entre 3 y
sumando 11, todo ello es igual a 111.
j)
El área A de un círculo es igual a p por el radio R elevado al cuadrado.
k)
El área de un rectángulo viene dada por el producto de la base b
por la altura h. Y todo ello es igual a 48
26.- Escribe la expresión algebraica que nos permite
calcular el área del cuadrado
27.- Escribe la expresión algebraica que nos permite
calcular el área de un rectángulo
28.- Escribe la expresión algebraica que nos permite
calcular el área de un círculo
29.- Calcula el valor numérico de los siguientes polinomios
para cada valor de x.
a) 2x4+ 3x3= para x=2
b) 3x2 -2x =
para x=3
c) 5x4+ 4x3= para x=1
d) 2x2 -2x
= para x=4
30.- Calcula el valor numérico de x3- 3x2+5x
-2 para x=4
21A.- Calcula el área de dos parcelas de terreno. Una
tiene de base x=3 y de altura y=2. La otra tiene de base a=5
y de altura b=7.
22A.- ¿Es correcta el valor final de la expresión algebraica siguiente 3x2 – 2x = 7 si a la x le damos un valor de 2?
23A.- ¿Y si en el problema anterior le damos a la x un
valor de 1?
24A.- La expresión 2a + 3b + 4c vale 17 cuando a = 2, b =
3. Pero falta que le demos valor a c. ¿Cuál es el valor de c
para que valga 17? (Pista: 2·2 + 3·3 + 4c = 17; 4 + 9 + 4c = 17; 13 + 4c = 17)
25A.- Traduce al lenguaje algebraico las siguientes
expresiones
a)
El doble de un número x.
b)
La tercera parte de un número x.
c)
Dos veces el cuadrado de un número x.
d)
Un número x menos tres veces y.
e)
Un número x menos tres veces y.
Todo multiplicado por dos.
f)
Un número x menos tres veces y.
g)
La sexta parte de un número x.
h)
La séptima parte de un número x
menos 1 es igual a 2.
26A.- Calcula el área x del cuadrado si los lados son igual a 3
27A.- Calcula el lado x de un rectángulo si el área es igual a 12 y un
lado es igual a 4
28A.- Calcula el área x del rectángulo si un lado vale 4 y el otro
vale 6.
29A.- ¿Cuál de los tres es un monomio?
a)
x2 + y2 = b.
b)
2x
c)
x + y = 2
30A.- Completa el triángulo de Tartalia sumando los dos
números superiores.
1
|
1
|
|||||||||||||
1
|
2
|
1
|
||||||||||||
1
|
3
|
1
|
||||||||||||
1
|
4
|
6
|
1
|
|||||||||||
1
|
5
|
10
|
5
|
1
|
||||||||||
1
|
15
|
20
|
15
|
1
|
||||||||||
1
|
7
|
36
|
35
|
7
|
1
|
02 Operaciones con monomios. Suma. Resta. Producto.
División
Un monomios es una expresión del tipo a·xn.
n es el grado del monomio
|
||
a es el coeficiente
|
a·xn
|
|
xn es la parte
literal
|
Un monomio es semejante a otro si los dos tienen la misma
parte literal.
·
La suma o resta de dos monomios
semejantes es otro monomio semejante a ellos cuyo coeficiente es la suma o resta de los coeficientes
que se operan. Sólo se pueden sumar o restar los monomios semejantes.
·
Para multiplicar dos monomios se multiplican los coeficientes y se suman los grados de las incógnitas.
·
Para dividir dos monomios se dividen los coeficientes y se restan los grados de las incógnitas.
31.- Realiza las siguientes sumas de monomios
a)
2x3-10x3+4x3+5x3
= +x3
b)
2x4-5x4+3x4
c)
x5-8x5+3x5+5x5
d)
-4x2+2x2+3x2
e)
-12x3-10x3+44x3+5x3
f)
12x4-3x4+13x4
g)
-2a5+3a5
h)
5/2a4-1/2a4
i)
2b2+3b2
j)
4c3-c3
32- Calcula los siguientes productos de monomios
a)
-2x2·(-2x3) = +4x5
b)
10x2·4x5
c)
5x3·x7
d)
-6x2·4x7
e)
4x3·x4
f)
3x4·x3
g)
6x·4x
h)
-5x3·2x4
i)
3x5·4x
j)
-x8·5x2
k)
-3x3·2x2
33.- Calcula las siguientes divisiones de monomios
a)
-48x6/(-2x3)
b)
24x20/4x5
c)
5x35/x7
d)
-24x28/4x7
e)
4x32/x4
f)
3x12/x3
g)
6x5/2x
h)
-15x15/3x3
i)
12x5/4x
j)
-25x8/5x2
k)
-30x8/2x2
31A.- Realiza las siguientes sumas y restas de monomios
+3a5
-2a5
+31x2
-12x2
+5/2a5
+3/2a5
+12y3
+13y3
+122z5
– 13z5
+20a5
+30a5
+23x3
-20x3
+33x2
-13x2
+5/7a5
+2/7a5
+42y3
-13y3
+112x5
– 13x5
+60a5
-30a5
32A- Calcula los siguientes productos de monomios
–3a3
*2a5
–31x4
*12x2
+5/2a3
*3/2a5
+12y3
*13y3
+122z2
*13z5
+20a5
*30a2
+23x3
*20x3
+33x2
*13x2
+5/7a3
*2/7a5
+42y3
*13y
+112x
*13x5
+60a2
*30ª3
33A.- Calcula las siguientes divisiones de monomios
a)
8x6/(2x3)
b)
4x20/2x5
c)
5x35/x7
d)
4x28/x7
e)
4x32/x4
f)
3x9/x3
g)
2x5/2x
h)
15x15/3x3
i)
2x5/x
j)
-5x8/5x2
k)
-10x8/2x2
03 Operaciones con polinomios. Suma. Resta.
Producto. División
Un polinomio
es una suma de monomios. Cada uno de los monomios que lo forman se llama
término. El grado de un polinomio
viene dado por el término de mayor grado. Los números que multiplican a las
letras en cada término se llaman coeficientes.
Para entender lo explicado, veamos el siguiente ejemplo.
Sea el polinomio 1/3xy+2x2y3-4xy3+5.
TÉRMINOS
|
TÉRMINO DE MAYOR GRADO
|
GRADO DEL POLINOMIO
|
COEFICIENTES
|
TÉRMINO INDEPENDIENTE
|
1/3xy; 2x2y3; 4xy3
|
2x2y3
|
5
|
1/3; 2; -4
|
5
|
35.- Calcula las siguientes operaciones de polinomios.
P(x)+Q(x)
a)
P(x) = -48x6 -11x5-14x4-12x3+x2+7x+8
Q(x)= +68x6+21x5-3x4+23x3+3x2-7x-2
b)
P(x) = -18x4 -13x3-4x2-12x+4
Q(x)= +21x4+27x3-3x2+23x+3
c)
P(x) = -13x7 -17x6-14x5-12x4+
x3+ 7x2+8x+9
Q(x)= +15x7+21x6-9x5
+ 13x4+3x3-7x2-6x +3
d)
P(x) = -7x6
+0x5+0x4-12x3+x2+7x+8
Q(x)= +68x6+6x5-3x4+0x3+3x2-7x-2
e)
P(x) = -x6
-x5-4x4-12x3+x2+7x+8
Q(x)= +x6+2x5-x4+23x3+x2-2x-2
36.- Calcula la resta de los siguientes polinomios
P(x)-Q(x). Para poder restar le cambiamos el signo a cada uno de los términos
del polinomio Q(x)
a)
P(x) = +3x3 + x2+ 9x +8
Q(x)= +23x3+3x2-7x-2
b)
P(x) = -4x2- x + 4
Q(x)= -3x2+2x+3
c)
P(x) = + 3x3+ x2+ 9x+8
Q(x)= +23x3+3x2-7x-2
d)
P(x) = - 4x2-x+4
Q(x)= -3x2+2x+3
35A.- Calcula las siguientes operaciones de polinomios.
P(x)+Q(x)
a)
P(x) = + 32x3 + x2 + 7x + 8
Q(x)= - 23x3 + 3x2 - 7x - 2
b)
P(x) = +53x3 + 4x2 + 12x + 4
Q(x)= - 27x3 - 3x2 + 13x - 3
c)
P(x) = - 7x2 + 18x + 9
Q(x)= +17x2 - 6x + 3
d)
P(x) = +x2+7x+8
Q(x)= +3x2-7x-2
e)
P(x) = + 11x2 + 7x + 8
Q(x)= - 2x2
- 2x - 2
36A.- Calcula la suma de los siguientes polinomios P(x) y
Q(x).
a)
P(x) = +103x3+ x2+ 9x + 8
Q(x)= - 40x3
+ 3x2- 7x - 2
¿Cuál
es el grado del polinomio resultado de la suma?
b)
P(x) = -4x2 – x + 4
Q(x)= -x2+12x + 3
¿Cuál
es el grado del polinomio resultado de la suma?
c)
P(x) = +89x3+10x2+ 29x + 8
Q(x)= - 23x3 - 3x2
- 17x - 2
¿Cuál
es el grado del polinomio resultado de la suma?
d)
P(x) = +44x2 - 3x + 4
Q(x)= - 3x2+12x + 3
¿Cuál
es el grado del polinomio resultado de la suma?
37.- Multiplicar el monomio 5x por los siguientes
polinomios
a)
5x(+3x3+x2+9x+8)=
b)
5x(+2x3+3x2-7x-2)=
c)
5x(3x3+5x2-2x-2)=
d)
5x(-4x2-x+4)=
e)
5x(-3x2+3x+7)=
f)
5x(3x3+5x2-8x)=
g)
5x(2x2+5x+7)=
38.- Dividir los monomios
a)
-24x28/4x7
b)
4x32/x4
c)
3x12/x3
d)
6x5/2x
e)
-15x15/3x3
f)
12x5/4x
g)
-25x8/5x2
h)
-30x8/2x2
39.- Sacar el factor común del siguiente polinomio:
(Pistaà
el 2 y la x son factores comunes)
2x + 4xy =
40.- Sacar el factor común del siguiente polinomio:
(Pistaà
el 5 y la x son factores comunes)
10x3 +20x2 -5x =
41.- Divide los siguientes polinomios
3x4 + 4x3 - 6x2 + 4x +
8 entre x2 + 2x - 1
42.- Divide los siguientes polinomios
6x3 - 17x2 + 34x - 36 entre 2x2 - 3x + 7
43.- El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del
primero más el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo; (a
+ b)2 = a2 + 2ab + b2
Halla el cuadrado
de (x + 5)2 =
44.- El cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado
del primero menos el doble del primero por el segundo más el cuadrado del
segundo; (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Halla el cuadrado
de (x - 5)2 =
45.- El producto de una suma por una diferencia es igual
al cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo; (a + b)·(a - b) = a2
- b2
Halla el producto
de (x + 5)·(x - 5) =
37A.- Multiplicar por el monomio indicado, los siguientes
polinomios
a)
+2x3-x2+9x+8
Multiplica
por x
b)
+2x3+3x2-7x-2
Multiplica por 3x
c)
3x3+5x2-2x-2
Multiplica por 5x
d)
-14x2-12x-4
Multiplica por (-x)
e)
-78x2+17x +24
Multiplica por (-2x)
38A.- Dividir los monomios
a)
8x28/4x7
b)
4x8/x4
c)
x12/x3
39A.- Sacar el factor común del siguiente polinomio:
(Pistaà
el 2 y la y son factores comunes)
2y + 4xy =
40A.- Sacar el factor común del siguiente polinomio:
(Pistaà
el 5 y la x son factores comunes)
+30x2 -5x =
41A.- Divide los siguientes polinomios
+2x2 + 3x + 2
entre x + 2
42A.- Divide los siguientes polinomios
x3 + 2x2 + 2x + 2 entre x2 + 2
43A.- ¿A qué es igual el cuadrado de la suma?
44A.- ¿A que es igual el cuadrado de una diferencia?
45A.- ¿A qué es igual el producto de una suma por una
diferencia?
46.- Saca el factor común del siguiente polinomio (Pista à
el factor común es 2x)
6x4 + 3x3 + 12x2 + 8x
47.- Nos dan los polinomios siguientes:
A = -2x2 - 4x
B = 4x2 + 5x
C = 7x2 + 6x
a)
Halla A-B+C
b)
Halla 2C+B+A
c)
Halla 2B+C+A
48.- Divide 6x4 + 3x3 + 12x2
+ 8x - 4 entre 2x
49.- 18x4 + 3x3 + 12x2 +
9x +15 entre 3x – 3
50.- Calcula el cuadrado de (3x – 4y)2 (Recuerda: El cuadrado del primero, menos dos veces el
primero por el segundo, más el cuadrado del segundo)
51.- Calcula el cuadrado de (3x4 + 5)2
52.- Calcula el cuadrado de (6x3 – 2)2
53.- Calcula el cuadrado de (x4– 2)2
54.- Calcula el cuadrado de (x + 1)2 O, lo que es
lo mismo, el producto de (x + 1)·(x + 1)
55.- Calcula el producto de (x + 1)·(x – 1)
56.- Simplifica la siguiente fracción de polinomios
57.- Saca el factor común del siguiente polinomio: a3
– 9a
58.- Calcula el producto de (a + 3)·(a – 3)
59.- Saca el factor común de a3 + 6a2
+ 9a
60.- Calcula el cuadrado de (a + 3)2
61.- Simplifica la siguiente fracción de polinomios
62.- Halla la siguiente división de polinomios:
12x5 + 23x4 + 30x3 + 41x2
+8x – 15 entre 4x + 5
63.- Te dan los polinomios siguientes:
A = -4x + 1
B = x2 + 6x
C = -6x – 1
Haz las siguientes operaciones
a)
4B – A
b)
A2
c)
A·C
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